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La recta real

Cinta métrica a modo de recta sobre la que se represntan números
Cinta métrica

La recta real es la representación gráfica de todo el conjunto de los números reales; en donde cada número real ocupa un punto o lugar en la recta. Además en la recta real no hay huecos o espacios sin ocupar, por lo tanto el conjnuto de los números reales R es completo.

Relaciones de orden en los números reales

A consecuencia de la posición que ocupan los números reales en la recta real se extraen una serie de propiedades relacionadas con el orden, que son:

  •  Transitiva: si un número a guarda relación con otro b, y a su vez b guarda relación con otro c, entonces a también guarda relación con c.
    a,b ∈ R:        si ab   y   b      entonces    ac.
  • Antisimétrica: si dos números reales a y b guardan la misma relación entre sí; entonces son iguales.
    a,b ∈ R:        si ab   y   ba      entonces    a = b.
  • Reflexiva:  cualquier número o elemento de R que se relaciona con él mismo.
    a ∈ R:        si aa       entonces    a = a.
  • Monótona respecto a la suma.
    a,b,c ∈ R:        si ab         entonces    (a + c)  ≥  (b+ c).
  • Monótona respecto al producto.
    a,b,c ∈ R:        si ab   y  c > 0     entonces    (a · c)  ≥  (b · c).
    a,b,c ∈ R:        si ab   y  c < 0     entonces    (a · c)  ≤ (b · c).
  • Relación total: el orden que define la recta real es total, porque entre dos números cualquiera a y b solo se pueden dar estas relaciones.

Valor absoluto y distancia

El valor absoluto de un número representa la distancia de ese número respecto al origen de la recta real y siempre será positivo, independientemente del signo del número. Además cumple las siguientes propiedades:

  •  |a| ≥ 0  si ∀ a ∈ R  y además |a| = 0 únicamente si a = 0.
  • |a · b| = |a| · |b|.
  • |a + b|  ≤  |a| + |b|. Por ejemplo para a = 5 y b = -3.
    |7 + (-2)| = 5    ≤   |7| + |-2| = 9
La distancia entre dos números reales cualquiera es el valor absoluto de la diferencia entre ellos.
Distancia   →   dif(a, b) = |b  – a|     ó     |ab|.

Intervalos

Un intervalo en la recta real es un subconjunto de los números reales acotados entre dos números cualquiera cuando se representa por un segmento, o acotado por un extremo cuando se trata de una semirrecta. Dependiendo de si los intervalos contienen o no a los extremos, estos se clasifican en abiertos, cerrados o semiabiertos.

El paréntesis indica que se trata de un extremo abierto  y el corchete de un extremo cerrado.

  •  Intervalo abierto: los extremos a y b no están contenidos.
    (a; b) = {x ∈ R: a < x < b}
  • Intervalo cerrado: los extremos a y b están contenidos.
    [a; b] = {x ∈ R:  a ≤   x   ≤ b}
  • Intervalo semiabierto: puede ser abierto por el extremo izquierdo o por el derecho.
    Abierto por la izquierda:      (a; b] = {x ∈ R: a < xb}
    Abierto por la derecha:        [a; b) = {x ∈ R: ax < b}
  • Semirrecta abierta: puede ser por la izqierda o por la derecha.
    (a; +) = {x ∈ R: a < x < +}
    (-; a) = {x ∈ R: – < x < a}
  • Semirrecta cerrada: puede ser por la izquierda o por la derecha.
    Abierto por la derecha:   [a; +] = {x ∈ R: ax < +}
    Abierto por la izquierda:    (-; a] = {x ∈ R: – < xa}

Entornos

Un entorno es un segmento de la recta real generado por un centro a y unos extremos dados por un radio r respecto del centro. Pero cuando al entorno se le elimina el centro, entonces se le considera reducido.

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