El conjunto de los números reales contiene a los números racionales y a los irracionales; a su vez, los números racionales contienen a otros subconjuntos de números como se verá a continuación.
Tipos de números reales
Los números naturales, negativos y enteros
Los números naturales son el conjunto formado por los números enteros y positivos más el cero 0 como elemento neutro. N = {0, 1, 2, 3, 4….}.
N a su vez es un subconjunto de los números enteros Z que también contienen a los enteros negativos. Z = {… -3, -2, -1 , 0, 1, 2, 3….}.
Los números racionales
Y siguiendo como si se tratara de una muñeca rusa o matrioska, el conjunto de los números enteros Z está contenido dentro del conjunto de los números racionales Q, que contienen además a las fracciones o números decimales racionales.
Q = {a/b: a,b ∈ Z, b != 0}
Dentro de los números racionales existen distintos tipos de fracción:
Fracción irreducible: cuando se llega al caso en que el numerador y el denominador no se pueden dividir por un mismo número entero (factor común). 75/45 = 15/9 = 5/3
Fracción impropia: el numerador es mayor que el denominador.
Fracción propia: el numerador es menor que el denominador.
Número mixto: fracción impropia representada por un entero más su fracción propia.
No todas las fracciones o números decimales son racionales. Sólo son racionales aquellos números cuya parte decimal es exacta o finita, o es infinita pero periódica, aunque no es necesario que para los números con parte decimal periódica toda ella sea periódica. Para distinguir a los dos tipos de números periódicos, aquellas cuya parte decimal es exclusivamente periódica se les llama periódicos puros, y los que tienen una parte no periódica, periódicos mixtos.
Los números irracionales
Hay números decimales cuya parte decimal es infinita pero no repiten ningún periodo o patron, a este grupo se les conoce como irracionales I, algunos ejemplos son, el número pi, e, raiz de 2, raiz de 5 … Además se caracterizan porque no pueden ser representados en forma de fracción.
Llegados a este punto, al conjunto formado por el de los números racionales más el de los irracionales se le conoce como el conjunto de los números reales R.
R = {Q, I}
Otros tipos de números reales
Según otra definición, el conjunto de los números reales se crea por la unión del conjunto de los números algebraicos y del conjunto de los números trascendentes.
Los números algebraicos
Son aquellos números que son solución o raiz de al menos un polinomio, cuyos coeficientes son racionales, cuando éste se iguala a cero.
Axm + Bxn + Cxp + ….. = 0
Hay irracionales como raiz2 que son algebraicos porque son solución de una ecuación, en este caso x2 – 2 = 0
Los números trascendentes
Son aquellos que no son solución o raiz de ningún polinomio o ecuación algebraica con coeficientes racionales; además como característica común, todos ellos son irracionales pero esto no implica que todos los irracionales sean trascendentes. Alguno ejemplos de números transcendentes son el número π y e.
Caso práctico
Solución
¿Por qué el número imaginario i es un número algebraico y no trascendente?
¿Cómo averiguar en que tipo de número decimal se convertirá una fracción?
Lo primero es simplificar la fracción hasta llegar a la forma irreducible, y luego hallar los factores primos del denominador.
1. Si en la simplificación solo aparece el 2 o el 5, o cualquiera de sus multiplos, la fracción será un número decimal exacto. Por ejemplo: 105/20 = 21/4 = 5,25
2. Si el denominador no contiene ningún divisor que sea 2 o 5; la fracción dará un número decimal periódico puro. Por ejemplo: 25/9 = 2, 777777
3 .Si el denominador contiene entre sus divisores con algún 2 o 5, la fracción será un número periódico mixto. Por ejemplo: 68/15 = 4,533333
Caso práctico
Solución
Pregunta. El número 0,99999 periodo y el 1 son el mismo número, ¿por qué?
Propiedades de los números reales R
Respecto de la suma.
- Conmutativa: a + b = b + a.
- Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c).
- Elemento neutro: a + 0 = a.
- Elemento opuesto: a + (-a) = 0.
Respecto de la multiplicación.
- Conmutativa: a · b = b · a.
- Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c).
- Elemento unidad: a · 1 = a.
- Elemento inverso: a · 1/a = 1. Excepto para el cero 0, que no tiene número inverso.
Distributiva del producto respecto a la suma: a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
Al definir las operaciones de suma y multiplicación en el conjutno de los números reales y cumplir con todas estas propiedades, se dice entonces que R es cuerpo.
