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El conjunto de los números reales

Fichas de juego con números naturales impresos
Los números naturales

El conjunto de los números reales contiene a los números racionales y a los irracionales; a su vez, los números racionales contienen a otros subconjuntos de números como se verá a continuación. 

Tipos de números reales

Los números naturales, negativos y enteros

Los números naturales son el conjunto formado por los números enteros y positivos más el cero 0 como elemento neutro. N = {0, 1, 2, 3, 4….}.

N a su vez es un subconjunto de los números enteros Z que también contienen a los enteros negativos. Z = {… -3, -2, -1 , 0, 1, 2, 3….}.

Los números racionales

Y siguiendo como si se tratara de una muñeca rusa o matrioska, el conjunto de los números enteros Z está contenido dentro del conjunto de los números racionales Q, que contienen además a las fracciones o números decimales racionales.

Q  =  {a/b:        a,b ∈ Z,      b != 0}

Dentro de los números racionales existen distintos tipos de fracción:

Fracción irreducible: cuando se llega al caso en que el numerador y el denominador no se pueden dividir por un mismo número entero (factor común). 75/45 = 15/9 = 5/3

Fracción impropia:  el numerador es mayor que el denominador.

Fracción propia: el numerador es menor que el denominador.

Número mixto: fracción impropia representada por un entero más su fracción propia.

No todas las fracciones o números decimales son racionales. Sólo son racionales aquellos números cuya parte decimal es exacta o finita, o es infinita pero periódica, aunque no es necesario que para los números con parte decimal periódica toda ella sea periódica. Para distinguir a los dos tipos de números periódicos, aquellas cuya parte decimal es exclusivamente periódica se les llama periódicos puros, y los que tienen una parte no periódica, periódicos mixtos.

Los números irracionales

Hay números decimales cuya parte decimal es infinita pero no repiten ningún periodo o patron, a este grupo se les conoce como irracionales I, algunos ejemplos son, el número pi, e,  raiz de 2, raiz de 5 … Además se caracterizan porque no pueden ser representados en forma de fracción.

Llegados a este punto, al conjunto formado por el de los números racionales más el de los irracionales se le conoce como el conjunto de los números reales R.

R = {Q, I}

Otros tipos de números reales

Según otra definición, el conjunto de los números reales se crea por la unión del conjunto de los números algebraicos y del conjunto de los números trascendentes.

Los números algebraicos

Son aquellos números que son solución o raiz de al menos un polinomio, cuyos coeficientes son racionales, cuando éste se iguala a cero.

Axm  +  Bxn  +  Cxp + ….. = 0

Hay irracionales como raiz2 que son algebraicos porque son solución de una ecuación, en este caso x2 – 2 = 0

Los números trascendentes

Son aquellos que no son solución o raiz de ningún polinomio o ecuación algebraica con coeficientes racionales; además como característica común, todos ellos son irracionales pero esto no implica que todos los irracionales sean trascendentes. Alguno ejemplos de números transcendentes son el número π y e. 

Caso práctico
Solución

¿Por qué el número imaginario i es un número algebraico y no trascendente?

¿Cómo averiguar en que tipo de número decimal se convertirá una fracción?

Lo primero es simplificar la fracción hasta llegar a la forma irreducible, y luego hallar los factores primos del denominador.

1. Si en la simplificación solo aparece el 2 o el 5, o cualquiera de sus multiplos, la fracción será un número decimal exacto. Por ejemplo: 105/20 = 21/4 = 5,25

2. Si el denominador no contiene ningún  divisor que sea 2 o 5; la fracción dará un número decimal periódico puro.  Por ejemplo: 25/9 =  2, 777777

3 .Si el denominador contiene entre sus divisores con algún 2 o 5, la fracción será un número periódico mixto. Por ejemplo:   68/15 =  4,533333

Caso práctico
Solución

Pregunta.  El número 0,99999 periodo   y  el 1  son el mismo número, ¿por qué?

Propiedades de los números reales R

Respecto de la suma.

  •  Conmutativa:  a + b = b + a.
  • Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c).
  • Elemento neutro:   a + 0 = a.
  • Elemento opuesto:  a + (-a) = 0.

Respecto de la multiplicación.

  •  Conmutativa:  a · b = b · a.
  • Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c).
  • Elemento unidad:   a · 1 = a.
  • Elemento inverso:  a · 1/a = 1. Excepto para el cero 0, que no tiene número inverso.

Distributiva del producto respecto a la suma: a · (b  + c) = (a · b) + (a · c)

Al definir  las operaciones de suma y multiplicación en el conjutno de los números reales y cumplir con todas estas propiedades, se dice entonces que R es cuerpo.

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