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Ciencias

Cinemática en una dimensión

El tren, el vehículo por antonomasia cuyo movimiento es en una única dimensión.
Tren, objeto por excelencia de movimiento en una dimensión.

Cinemática es el estudio del movimiento tal cual; considerando cada objeto, sea del tamaño que sea, como un punto en lo que lo importante es conocer magnitudes tales como la velocidad, el desplazamiento, la distancia recorrida o el tiempo empleado.

Concepto previos de la cinemática

  • Desplazamiento: cambio de la posición de un objeto por unidad de tiempo.
  • Distancia: suma de los módulos de todos los desplazamientos realizados durante un tiempo concreto.
  • Velocidad instantánea: velocidad que tiene un objeto en un momento de tiempo concreto.
  • Velocidad media: es la velocidad constante a la que un objeto hubiera recorrido toda la distancia dada en el tiempo establecido.
  • aceleración instantánea: cambio de velocidad en un instante determinado.
  • aceleración media: cambio en la velocidad por unidad de tiempo, durante un intervalo de tiempo determinado.

Cinemática en una dimensión (matemáticas)

Aunque distancia y desplazamiento no son lo mismo, en cinemática de una dimensión ambos conceptos coinciden matemáticamente; porque entre un punto final xf y un punto inicial xi solo puede haber un camino. Si el movimiento se da en el eje x tenemos que el desplazamiento es:

Desplazamiento: Δx = xf – xi

Velocidad

La velocidad media no indica como ha sido la velocidad durante todo el recorrido, no tiene porqué haber sido constante y ser diferente en función del intervalo de tiempo medido. La velocidad media representa la pediente de la recta tangente de Δs y Δt.

Cuando hay variaciones de la velocidad durante el recorrido, quizás lo que  nos interesa es conocer la velocidad en función del instante del tiempo concreto; esto es, la velocidad instantánea y en términos matemáticos, es la variación de posición cuando el incremento de tiempo tiende a cero; por lo tanto representa derivada de la posición respecto al tiempo. 

Aceleración

De manera análoga con la velocidad, hay dos aceleraciones, la media y la instantánea, donde la variable dependiente ya no es la posición sino la velocidad.

La mayoría de los movimientos son a aceleración constante, y partiendo de ahí se van a deducir las ecuaciones cinemáticas de la posición y la velocidad (se entiende que instantánea).

Nótese que la constante «c» surgida tras la integración de las expresiones de arriba, se traduce en la posición o la velocidad inicial del objeto según la ecuación se trate. 

Aplicaciones de la cinemática en una dimensión

1 Alcance de dos objetos en movimiento con el mismo sentido.

Un coche patrulla de policía inicia la persecución de otro coche cuando este pasa por su posición, entonces el coche policía se pone en movimiento acelerando a razón de (10 km/h)/s hasta alcanzar los 150 km/h. Si el coche sospechoso va a velocidad constante de 100 km/h determinar:
a) El tiempo que tardará el coche policía en alcanzar al sospechoso.
b) ¿Qué distancia habrán recorrido ambos coches desde el inicio de la persecución?.

 

Datos:

ti = 0 s        xi = 0 m ó km       Conversión 1 km/h = 1000 m / 3600 s

Vehículo 1 (policía):   vi1 = 0 km/h,  vf1 = 150 km/h,   a1 = (10 km/h)/s

Vehículo 2 (sospechoso): vi2 = vf2 = 100 km/h

Ecuaciones:

 Δt = t– ti,          vf = vi  +  a·Δt,       xf = xi  +  vi·t   +  (1/2)·a·(Δt)2

 

 

a) Resolución: Comprobar primero si el alcance se ha producido antes o después de que el coche de policía halla terminado de acelerar y después determinar el tiempo.

Vehículo 1:  tiempo en alcanzar la velocidad final

vf1 = 150 = 10·t1               t1 = 150/10 = 15 s

distancia recorrida  en Δt = t1 – ti  =  t1 

x1 = xi  +  vi1·t   +  (1/2)·a·(Δt)2,

x1 = (1/2)·10·(1000 m/3600 s)·152 =  312,5 m = 0,313 km

Vehículo2: distancia recorrida durante la aceleración del vehículo 1.

x2 =  xi  +  vi2·t   +  (1/2)·a·(Δt)2 = 100 ·(1000 m/3600 s) · 15 = 416,7m = 0,417 km

x1 ≠ x2  sigue la persecución, pero cada vehículo a su correspondiente velocidad constante; en consecuencia  se determina un nuevo «Δt» para la última fase de la persecución..

Vehículo 1:   xf1 = x1 + vf1 · Δt       xf1 = 313 + 150 ·(1000 m/3600 s)·Δ t

Vehículo 2:  xf2 = x2 + vf2 · Δt        xf2 =  417 + 100 ·(1000 m/3600 s)· Δt

xf1 =  xf2

313 + 150 ·(1000 m/3600 s)· Δt =   417 + 100 ·(1000 m/3600 s)· Δt

13,89 · Δt =  417  –  313

Δt = 7,5 s

tf = t1  +   Δt =  15  + 7,5 = 22,5 s

 

 

b) Distancia total. Se comprueba que los dos coches recorren la misma distancia.

Vehículo 1:   xf1 = x1 + x(Δt)

xf1 = 313  +  vf1·Δt =  313  +   41,7 · 7,5 = 626 m = 0,626 km

Vehículo 2:   xf2 = vi2·(tf)

xf2 = 27,78 · 22,5 = 625 m = 0,625 km

Correcto   xf1 = xf2 =  0,625 km

2  Objeto en caída libre.

Si se golpea un balón en dirección vertical desde el borde de la azotea de un edificio de 12 m y cuya velocidad inicial es de 8 m/s. Determinar:
a) Altura máxima que alcanzará el balón.
b) Tiempo que transcurrirá hasta llegar al suelo.

Datos:
viy = 8 m/s            vfy = 0 m/s              hi = 12 m             g = -9,8 m/s2

a) Altura máxima. Será cuando la velocidad del balón sea 0.

vfy = viy + g·Δt    →     Δt = (vfy  – viy)/g     →      Δt = – 8/-9,8 = 0,82 s.

hf =  hi + viy·Δt + (1/2)g ·Δt2       →      hf = 12  +    8·0,82   –   4,9·0,822

hf = 15,3 m.

b) Tiempo total Δt. Será cuando hf = 0 m.

hf = hi + viy·Δt + (1/2)g ·Δt2     →     0 = 12   +   8·Δt   –   4,9 ·Δt2 

Solución ec. 2º grado:      Δt = 2,6 s

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